作者|刘扬州
来源|来自知乎专栏《万物皆有数》《数学天才》获授权转载。在此感谢！
据先秦典籍《史本》记载:“尧使围棋，善使围棋”。作为一个有着4000年左右历史的古老游戏，它和数学之间的命运如何？本文试对此进行描述。
我们先来了解一下图的基本概念。
无论是东方的星辰，还是西方的星座，都是古人对图论的首次应用。其实围棋本身很可能起源于古代天文学。围棋棋盘的中心点称为天元，其他八个特殊点称为星位(图二)。
图1
图2:标准Go板
所谓图(Graph)是由一些离散的点和连接这些点的边组成的。我们画一个图为，其中表示顶点集和边集。如果两个顶点之间有一条边，则称它们彼此相邻，连接它们的边也可以说与这两个点相邻。
显然，围棋棋盘是一个图表，标记为。我们把下棋的过程看作是构造子图的过程，所谓的子图满足:
我们定义一个图的商运算:用一个顶点替换整个子图，保持子图外的顶点和不相邻的边不变，用替换这个边的末端。
图3:图的商运算。把变成纪。此图来自剪纸。
假设两个顶点路连通，即有一系列首尾相接的边形成的路，分别以这两点为端点(若路的端点为同一点，则称路为圈)。连通性的概念也可以在图之间扩展。一个图可以由几个不相连的子图组成。如果把天上的星座看成一个巨大的图，那么每个连通的星座都可以称为连通分支。
图4:左右两个相连的分支，左边的分支是黄道；右边的树枝是一个黄色的圆圈。
还有一个从图论开始就产生的概念——度(度):记录与顶点相邻的边数，如图5所示。比如白羊座的星(星座中最亮的星)的度数是3；度数更高的星座是天秤座和天蝎座，他们的星度数都是4。
图5:十二宫图。
下面我们会看到，度与围棋中的气概念密切相关。
下面简单介绍一下围棋的基本规则。
围棋中有一个核心概念，那就是气，是棋盘上一枚棋子的生命值。
图6:百子提吃黑子的过程
如上图，一个棋子在棋盘的腹地(非边界)有四个音。当这四个音都被对手包含时，棋子就会被对手拿起。特别是棋子在棋盘边线而不是四角时，棋子有三气；棋子在四角时，棋子只有两个气。
国际象棋棋盘是一个简单的方案:棋盘的中心点度数为4，边界点不是角点，度数为3，角点度数为2。
属于同一连通分支的相同颜色的棋子称为一个棋子。
图7:黑棋有四个分支，白棋只有一个分支。而且很快就要上白棋了，这种棋形在围棋术语里叫“滚打打包”。
我们前面介绍的是一个顶点的度数。我们可以把这个概念推广到连通子图，也就是考虑连通子图的度--
合格中介机构的定义
把棋盘记为一个图，把盘上的一颗棋子考虑成一个连通子图，它们之间进行商运算。定义的qi:
目的定义
简单来说，某一方所包围的区域的交叉点数量就是点数。项是双方收入最终结算的基本单位。用来判断胜负的总物品数分为两部分:盘面物品数和死亡对手数(提及和未提及)。
中国规则是计数法:不考虑双方死子，只考虑被占格数，包括活棋本身所占格数。数律起源于唐朝，后传至日本。
从图论的角度来看，围棋比赛是双方棋手构建有效连通分支的过程。连接的分支在划分盘面时起作用。谁拥有一个生长良好、传播迅速、占据广阔地方的有效连接分支，谁就赢了。可见，围棋非常能体现生命占据空并获得更多资源的特点。康威，一位伟大的数学家，在生命的游戏围棋的基础上发明了元胞自动机。
接下来可以讨论一下围棋涉及的数学问题。
一盘棋的运气是由哪些因素决定的？有没有计算公式？
直觉上，“卒越多怒越大”，所以卒的数量是一个重要因素。
图7
如果棋子如上图线性排列，很容易得到计算公式:
这个公式表明，除了前两个棋子有3个气，其他中间的棋子都贡献了2个气。这和有机化学中饱和碳链连接的氢原子数公式是一致的，正是因为碳原子最外层的电子可以和四个氢原子的单电子配对，这和一个围棋子有四个气是一样的。
但在现实游戏中，棋形往往非常复杂，棋子只贡献1甚至0气的可能性很大。
“傻形”是指围棋术语中的低效棋形。
图8:各种傻。
转弯
棋子转动时(转，围棋术语)，两角共用一口气，也就是说转头只为整个棋子贡献一口气(见图9)。
图9
此时，公式(1)应该被修改。
图10:这种棋形叫“扭羊头”。一旦陷入这种情况，黑要尽早放弃跑步，因为跑的越多，输的就越多。
如图10所示，如果不考虑白棋，黑棋的运气可以用公式(2)计算:
也就是黑翻了六次，计算出来的结果和真实的运气是一致的。就是因为诱拐本身提供的气的效率不高(2气/子)，所以会不断被对方杀死。这就是羊头扭曲的原因。
需要注意的是，这个公式适用于计算同方向(顺时针或逆时针)的圈数不是很近的情况(扭羊头是反的)，否则圈数会少一些。
图11:连续向同一个方向转弯会导致几个孩子共用一口气。这种棋形叫“活眼”，简称“眼”。两个相连的活眼就是活棋，也就是对手永远不能提吃的棋。
图12:棋盘边、角、中腹三种形态的活眼。眼睛有两个儿子共享一个呼吸；第三只眼股松了一口气；四目共呼吸。
丁基
图13: D 4。新生的孩子没有带来额外的呼吸。
组
图14:正方形4。补充一口气。
很容易看出，图8中剩下的傻子可以看作是以上三个傻子的组合。
Jump，Double
图15:一个字是跳，两个字是双。
这种紧密平行的关系也会导致气的共享。
最后，考虑角落下棋的特殊情况。
图16:立起(招)，即一路下降，使原本挂空的棋站在边界上。
李只提供了1气。但是在做生死题的时候，站起来往往会让对方“入不了气”(让对方无法屏住呼吸，轻易让步)。这个杀招就是著名的“金鸡独立”。
综上所述，我们可以得到气体数的公式:
其中，愚伤气可细分为: